DU REEL AU MODELE, TOUT SIMPLEMENT !
SURLESTER LE MODELE SANS EN DETRUIRE L'EQUILIBRE

Pour quelles raisons et comment y parvenir.


Généralités


Après avoir vu, au chapitre précédent, comment situer le centre de poussée de la voilure, apprenons maintenant à en équilibrer au mieux les effets.

Mais avant d'aller plus loin, il faut bien se mettre dans la tête qu'on ne pourra jamais obtenir d'une maquette un comportement similaire à celui de son modèle grandeur… sauf à mettre le vent lui-même à l'échelle du modèle!

Prenons l'exemple d'un "Classe J" construit au 1/20, le passage du réel au modèle va nous donner ces résultats:

• Réel = 70 tonnes de lest, 700m2 de voilure,

soit 100 kg de lest pour 1m2 de voilure.

• Modèle = 8,75 kg de lest, 1,75 m2 de voilure,

soit 5 kg de lest pour 1 m2 de voilure.

La pression d'air supportable pour le modèle est donc 20 fois inférieure à celle absorbée par le réel.

En conséquence, à plan de voilure proportionnellement identique, mais à vitesse de vent égale, un comportement similaire modèle/réel exige la multiplication de la masse du lest par le facteur d'échelle choisi; soit pour l'exemple retenu, 8,75 kg x 20 = 175 kg, bien plus que le poids total du modèle à cette échelle.

170 000 kg ÷ 203 = 21,25 kg

(203 = 20 x 20 x 20 = 8 000)

Enfin, il faut savoir que doubler la vitesse du vent multiplie par quatre la pression qu'il exerce. Une pression vingt fois plus faible revient donc à diviser la vitesse du vent par la racine carrée du facteur d'échelle, /20 = 4,47… ce qui revient à dire qu'un vent à 44,7 km/h pour le réel produira le même effet qu'un vent de 10 km/h sur notre maquette, sous réserve de l'exacte proportionnalité du lest.

C'est une des conséquences, et non la moindre, du fameux "effet d'échelle"; bien qu'incontournable, il est cependant possible d'en atténuer les effets.

Si le choix de la reproduction se porte sur un voilier lourd et peu toilé, il n'est pas trop difficile de "s'en sortir honorablement"; en revanche, le problème posé est particulièrement redoutable lorsque l'on veut reproduire:

- les voiliers de course anciens construits avant 1920,

- les voiliers actuels, de plaisance bien sûr, mais également de régate et, surtout, de course.

Antérieurement à 1920, l'aérodynamique de la voile était encore mal maîtrisée et l'on pensait (encore une "évidence"…dont il aurait fallu se méfier) que, pour gagner en vitesse, la seule solution consistait à augmenter la surface de voilure.

Lors de la Coupe de l'America en 1903, le defender américain "Reliance" (en bon français "Confiance" … on ne peut plus méritée du reste), portait 1500 m2 de voilure sur son seul mât! Trente ans plus tard, 700 m2 assuraient à une unité de tonnage équivalent une vitesse supérieure

Aujourd'hui, la construction composite s'est généralisée, le carbone, bien que très onéreux encore, se généralise, du moins en course et pour la grande plaisance. Les gains sont spectaculaires tant sur la masse que sur la résistance à l'effort ; l’aérodynamique est maîtrisée, si bien que, petit à petit, les voiles à haut rendement, conçues comme des ailes d'avion et déjà employées lors de la coupe de l'America 2014, vont s'imposer.

Un Douze Mètres de Jauge Internationale (12MJI) des années 50 mesurait 21 mètres de longueur, pesait 27 tonnes métriques et sous 240 m2 de voilure atteignait au mieux 15 nœuds (milles nautiques), soit 28 km/h.

Actuellement, les voiliers engagés dans le "Volvo Race", bien que de longueur égale, ne déplacent que 14 tonnes et atteignent sans problème 25 nœuds (46 km/h), avec des pointes à plus de 30 nœuds (55 km/h) sous 270 m2 de voilure.

Mais il y a mieux encore : les catamarans engagés lors de la dernière Coupe de l'America sont d'une légèreté extrême pour leur taille et, équipés de ces fameuses voiles en aile d'avion, vont chercher sans problème les 45 nœuds (80 km/h), bien posés sur leurs foils, glissant et virant sur l'eau d'une façon stupéfiante.

Il s'agit là, bien entendu, de cas extrêmes mais songeons cependant qu'au 1/20, 1500 m2 deviennent 3,75 m2 et que 14 tonnes se résument à 1,75 kg …

Peut-on construire, pour les faire correctement naviguer, de telles maquettes? La réflexion à laquelle nous sommes contraints n'en rend le modélisme naval que plus passionnant encore.


L'équilibre longitudinal du bateau

Remarque : l'équilibre transversal (à ne pas confondre avec la stabilité), ne pose en principe pas de problème puisqu'il suffit de centrer les charges directement sur l'axe longitudinal de la coque, ou à égalité de part et d'autre de ce dernier.



Plan de Voilure N°1

La ligne de flottaison, ou plan d'équilibre, est fonction du volume de la carène et du centre de gravité longitudinal de cette dernière.

Le volume de la carène étant égal au déplacement total du bateau, le problème posé par le respect d'une ligne de flottaison donnée se résume à positionner le lest de manière telle qu'il équilibre exactement la totalité de la masse du bateau de part et d'autre du centre longitudinal de la carène.

- La carène et son centre de gravité longitudinal

Délimitée par la ligne de flottaison, la "carène" désigne la partie immergée de la coque.

(Ce mot "carène" nous vient du latin "Carina" qui signifie "coque de noix", l'expression, quelque peu péjorative aujourd'hui, n'est donc pas nouvelle!).

Cette ligne de flottaison, qu'il est impératif de respecter, n'est pas tracée au hasard. Heureusement, le temps où on la découvrait lors de la première mise à l'eau (se rappeler la catastrophe du "VASA") est bel et bien révolu.

Elle correspond à une situation d'équilibre préalablement calculée, qui garantit un fonctionnement optimal du bateau, en termes de performances comme de tenue à la mer, dans la limite de charge autorisée.

Le "déplacement" correspond à la masse du volume d'eau effectivement "déplacé" par la carène et par conséquent, au poids du bateau.

Sur toute carène, le centre de gravité longitudinal est situé sur le plan vertical transverse qui en divise la totalité en deux parties d'égales valeurs.

- Le centre de gravité longitudinal hors lest

A l'instar du centre longitudinal de carène, il représente le point par lequel on pourrait faire passer à travers la coque au niveau de la flottaison un axe transversal imaginaire sur lequel l'ensemble du bateau, hors lest mais avec mâture, gréement, voiles, électronique et batteries en place, (ou représentés par une masse équivalente placée au même endroit), serait suspendu dans une position d'équilibre respectant l'horizontalité de la ligne de flottaison.

- Le centre de gravité du lest

Correspond au point, virtuel, car situé à l'intérieur de la masse, autour duquel cette dernière pourrait se mouvoir en parfait équilibre quelle que soit sa position. A supposer un lest sphérique, le centre de gravité se situe au centre de la sphère.


3. Comment procéder

Généralement, les modélistes ne disposent pas de l'original des plans intéressant l'unité de leur choix. En conséquence, centres de carène et de gravité leurs sont inconnus. Comment les apprécier?

- Le centre longitudinal de carène

De même que pour les voiles, il faut évaluer la surface immergée de chaque couple en découpant ce dernier en triangles dont on additionne les surfaces (les plans ne présentant en général qu'un demi-couple, la division par deux du produit base x hauteur est inutile).

Effectuer ensuite la somme des surfaces de deux couples consécutifs:

1 + 2, 2 + 3, 3 + 4 …

et multiplier chaque résultat par la demi distance séparant chaque couple.

Attention: Bien respecter la cohérence des unités de mesure employées.



Plan de voilure N°2


Exemple:

Demi intervalle = 5 cm

Surface couple n° 5 = 10 cm2

Surface couple n° 6 = 15 cm2

Surface 5 + 6 = 25 cm2

Volume compris entre 5 et 6 = 25 x 5

= 125 cm3

Remarque: les deux extrémités de la ligne de flottaison n'étant pas nécessairement situées sur un couple (dont de toutes manières la surface immergée serait nulle), il suffit en ce cas de multiplier la première surface immergée par la demi-distance la séparant de l'extrémité de la ligne de flottaison.

L'addition de la totalité des volumes obtenus est égale au volume de la carène. (Si l'on connaît par avance le déplacement de l'unité grandeur, la vérification est immédiate: il suffit de diviser ce dernier par le coefficient d'échelle élevé à la puissance 3: si 1/10 par exemple, diviser par 103, soit par 1000).

Reste à situer précisément le centre de gravité longitudinal qui divise en deux parties d'égales valeurs le volume que nous venons de calculer.

Il est bien rare, là encore, que cette division corresponde à l'emplacement d'un couple. Le plus souvent elle empiète sur le volume suivant.

Le rapport existant entre la valeur de cet empiètement sur la valeur du volume en question, appliqué à la distance séparent les couples, permet d'en situer la position avec une précision suffisante pour notre maquette.

Exemple:

Centre de gravité situé entre couples 8 et 9

Distance séparant les couples = 10 cm

Volume 8/9 = 350 cm3

Empiètement sur ce volume de 8 vers 9 = 150 cm3

Rapport 350 ÷ 150 = 2,33

10 cm ÷ 2,33 = 4,29 cm

Centre situé à 4,29 cm du couple 8.

- Le centre de gravité longitudinal hors lest

Cette mesure est extrêmement importante car elle conditionne la masse du lest et sa répartition de part et d'autre du centre longitudinal de carène.

On pourrait théoriquement obtenir ce résultat à partir d'un "devis de poids" effectué avant la construction, ce qui est la méthode utilisée en construction grandeur mais à l'échelle du 1/10…1kg devient 1g, au 1/20…0,125g, inutile d'insister dans cette voie!

Construisons donc soigneusement en tentant de gagner du poids partout où il est possible de le faire.

La construction terminée, la solution la plus simple et la plus pratique consiste à placer la maquette non lestée sur un ber lui-même parfaitement équilibré et pouvant en quelque sorte se "balancer" sur un axe transversal placé au niveau de la ligne de flottaison de la maquette.

Déplacer ensuite la maquette sur ce ber jusqu'à trouver le point d'équilibre tout en respectant l'horizontalité de la ligne de flottaison.

Important: le bateau doit être complet, toutes pièces en place ou à défaut représentées par la masse de chacune d'elles.

Repérer alors soigneusement sur la coque le centre de gravité longitudinal hors lest situé sur l'axe de rotation du ber.

Profiter de cette opération pour peser très exactement la maquette hors lest, la masse de ce dernier étant le résultat de la différence avec le volume de carène.

- La répartition de la masse du lest de part et d'autre du centre de carène.

Deux cas de figure sont possibles:

a) Centre longitudinal de carène et centre hors lest sont situés sur le même axe vertical…c'est une chance, mais fort rare!

b) Ces deux centres sont distincts, le centre hors lest placé côté proue ou côté poupe du centre de carène.

- Marche à suivre

1°) Bien mesurer la distance séparant les deux centres.

2°) Calculer la surface de couple immergé à la verticale de ces centres.

3°) Additionner ces surfaces et les multiplier par la demi distance les séparant: on obtient le volume recherché et la masse correspondantes (1 cm3 d'eau pèse 1 g).

4°) Connaissant la masse totale du lest, la diviser en deux afin de la répartir comme suit de part et d'autre du centre de carène.

Cas a)

Aucun problème, chaque moitié du lest est située de part et d'autre du centre de carène.

Cas b)

- Le centre hors lest est situé en avant du centre de carène = soustraire de la demi-masse du lest située en avant du centre de carène la masse obtenue en (3°) et l'ajouter à celle située en arrière de ce centre.

- Le centre hors lest est situé en arrière, faire l'opération inverse.

Votre maquette est parfaitement équilibrée sur sa ligne de flottaison.

Equilibre ongitudinal


L'appréciation du volume du lest, la situation de son centre de gravité, sa répartition sur le centre longitudinal de carène, sa réalisation

Rappel d'importance: 1 dcm3 de plomb pèse 11,37 kg et 1 cm3, 11,37 g.

1°) Sur les voiliers à quille longue intégrée à la carène.

2°) Sur les voiliers à lest en forme de torpille ("torpédo" en anglais) suspendue à l'extrémité d'un voile.

3°) Sur les voiliers à quille trapézoïdale, parfois conjuguée avec une torpille à l'extrémité.

A) Les modifications possibles

- Sur les voiliers à quille longue on ne peut qu'augmenter la masse du lest, ce qui n'est possible qu'en diminuant au maximum le poids de la maquette lors de sa construction.

- Sur les voiliers à lest torpille, le sur-lestage est plus simple car on peut également augmenter la longueur de voile.

A titre d'exemple, une majoration de 40% sur le volume de la torpille couplée à un allongement du voile de quille dans les mêmes proportions correspond à une augmentation du couple de redressement égale à:

1,4 x 1,4 = 1,96 soit 196%.

- Sur les voiliers à quille trapézoïdale, il est également possible d'augmenter la longueur de la quille; cependant il faut rester raisonnable, car une augmentation trop forte en augmente considérablement la surface, ce qui freine le bateau.

B) La situation du centre de gravité

Les plans qui suivent se passent de tout commentaire: il n'y a qu'à appliquer le plus précisément possible.

C) La répartition du lest sur le centre longitudinal de carène

Connaissant sa forme, sa masse, l'emplacement de son centre de gravité ainsi que la valeur du décalage éventuel à observer par rapport au centre longitudinal de carène, l'opération n'est guère compliquée:

- évaluer la surface d'une coupe du lest au niveau du centre de gravité

- évaluer ensuite le volume de plomb correspondant à la masse requise par la compensation.

Ex: 350 cm3, soit 350 g d'eau correspondent à 350 ÷ 11,37 = 30,78 cm3 de plomb.

- diviser ensuite ce volume par la surface du lest au niveau du centre de gravité vous donne le décalage à respecter par rapport au centre longitudinal de carène.

Ex: Surface = 10 cm2

Le décalage vaut 30,78 ÷ 10 = 3,078 cm.

Remarque importante :

Concernant les quilles trapézoïdales, vous n'aurez aucune chance de disposer d'une vue en coupe : cette dernière étant en général très étudiée sur le plan hydrodynamique, conditionne pour partie (il en va de même pour le gouvernail), les performances du bateau grandeur. Il est donc normal que les constructeurs ne les divulguent pas.

Cependant ces profils, dans leur ensemble, remplissent 67% environ de la surface du rectangle circonscrit d'une part, et de l'autre présentent un équilibre des surfaces 50/50, sur un axe transverse situé à une distance valant aux alentours de 43% de la longueur totale à partir du bord d'attaque (l'avant).



LE LEST "CLASSIQUE"


Sur les voiliers classiques à quille longue, le lest est intégré à la coque et la seule solution possible pour en augmenter la masse dans le cadre du volume disponible consiste à en augmenter la hauteur latérale, ce qui a cependant pour effet d'en relever également le centre de gravité.

Le schéma vous donne la marche à suivre.

Lest Classique

- diviser les vues de côté et de dessus à intervalles réguliers.

- calculer les surfaces de chaque coupe ainsi obtenues. Au passage en apprécier également le plan horizontal qui en délimite la demi-surface.

- faire la somme de deux surfaces successives et la multiplier par la demi-distance les séparant.

- effectuer l'addition du tout : vous obtiendrez le volume et donc la masse du lest.

- le centre de gravité va se trouver à mi-volume mais également à mi-surface de cet endroit.

Numériquement

Le plan joint, pour être plus compréhensible, assimile la surface des coupes à celle d'un demi-cercle surmonté d'un rectangle, ce qui est moins laborieux que l'appréciation des surfaces par triangulation.

Selon le système métrique ici employé, le volume total est de 220 cm 3 ce qui représente une masse de plomb de 2,48 kg.

Le centre de gravité se situe donc après la coupe n° 4. Le volume compris entre 4 et 5 valant 37,56 cm3 et le volume arrêté à 4 étant 100 cm3, les 10 cm3 manquant se trouvent à = 37,56 ÷ 10 = 3,756 et 2 cm ÷ 3,756 valeur 0,53 cm au-delà de la coupe n° 4 sur la ligne séparant les demi-surfaces.

L'augmentation de la masse du lest doit se faire en respectant l'emplacement de ce centre ce qui revient à définir un seul et même ratio appliqué à toutes les surfaces.

Ainsi, vouloir doubler la masse du lest consiste à multiplier par deux la surface de chaque coupe.

Sur le plan, seule la hauteur pouvant être modifiée, la coupe n° 4 par exemple, valant 20,48 cm2 : le passage à 40,96 s'obtiendra en divisant 20,48 par 4 (la largeur), soit 5,12 cm, hauteur supplémentaire à donner à cet endroit.

LEST EN FORME DE TORPILLE


En apprécier le volume global et le centre de gravité correspondant est extrêmement simple.

Lest torpille

A partir du plan en votre possession :

- diviser verticalement les deux vues à intervalles égaux;

- calculer la surface respective de la coupe correspondant à chaque intervalle;

- additionner chaque surface avec la suivante et la multiplier par la valeur du demi-intervalle;

- faire l'addition du tout pour obtenir le volume global;

- le centre de gravité sera situé à mi- volume.

Numériquement :

- la surface d'un cercle s'obtient en multipliant le rayon par lui-même puis en multipliant le résultat par le nombre "Pi" qui vaut 3,14 = un cercle de 3 cm de rayon aura donc une surface égale à 3 x 3 x 3,14 = 28,26 cm2.

- la surface d'une ellipse s'obtient en multipliant rayon vertical et rayon horizontal, le tout par le nombre "Pi" = une ellipse de rayons 2,5 cm et 3,6 cm présentera une surface égale à 2,5 x 3,6 x 3,14 = 28, 26 cm2.

Le schéma représente la même masse de lest (les surfaces de coupe étant égales), sous les trois formes habituellement rencontrées :

- coupe circulaire

- coupe elliptique

- coupe mi- elliptique, mi- circulaire.

Sa valeur en volume est de 437 cm3, ce qui représente, réalisé en plomb, une masse de 4,96 kg.

Vous pouvez les vérifier en reprenant les surfaces une à une :

1 = 13,84 cm2, 2 = 22,89 cm2, 3 = 26,40 cm2

Le volume correspondant sera :

O à 1 = 13,84 x 1,4 = 19,37 cm3

1 à 2 = (13,84 + 22,89) x 1,4 = 51,42 cm3

2 à 3 = (22,89 + 26,40) x 1,4 = 69 cm3

Le centre de gravité longitudinal est situé à peu de choses près au niveau 4, sur le centre du cercle et de l'ellipse. Un peu plus haut sur le combiné cercle/ellipse. Si l'on veut être vraiment précis et obtenir l'équilibre des surfaces, le centre se situe à 2,72 cm du sommet du cercle car :

3,3 x 2,72 = 8,976 x 3,14 = 28,2 cm2

28,2 ÷ 2 = 14,1 cm2.

Enfin, pour augmenter la masse du lest sans en altérer les proportions, il suffit d'en multiplier l'ensemble des mesures, longueur comprise, par la racine cubique de l'augmentation souhaitée.

Le voulez-vous deux fois plus lourd? Multipliez par 1,260 … un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm3, un cube de 1,260 cm de côté vaut 2 cm3.


LEST TRAPEZOIDAL


Calcul de la surface d'un trapèze :

(Area) S = ((AB + CD) ÷ 2) x h

Quille trapezoidale

Calcul du volume =

(Volume) V = h ÷ 6 x (((2AB + CD) x BF) + ((2CD + AB) x DE)))

I) DEFINITION

En calculer le centre de gravité revient à situer très précisément la position du plan parallèle à la ligne de flottaison, plan qui divise le volume global du lest en deux parties d'égale valeur.

Deux cas de figure se présentent :

A) L'épaisseur du lest est constante sur toute la hauteur.

B) Elle est variable en continu de bas en haut.

II) CALCUL

A) LEST A EPAISSEUR CONSTANTE

N3-lest-trapezoidal


scan2-lest-trapezoidal

1°) Calculer la surface totale.

2°) La diviser par deux.

3°) Calculer la surface haute à ½ hauteur.

4°) En diviser la valeur par celle de la ½ surface.

5°) Multiplier ce résultat par la valeur de la ½ hauteur = vous obtenez l'emplacement en hauteur du plan de gravité.

Exemple chiffré :

- 10,25 + 4,82 ÷ 2 x 17,3 = 130,35

- 130,35 ÷ 2 = 65,17

- 10,25 + 7,53 ÷ 2 x 8,65 = 76,92

- 76,92 ÷ 65,17 = 1,18

- 8,65 x 1,18 = 10,21

B) LEST A EPAISSEUR VARIABLE

N2-lest-trapezoidal


scan1-lest-trapezoidal

1°) Calculer le volume total.

2°) Le diviser par deux.

3°) Calculer le volume haut à ½ hauteur.

4°) En diviser la valeur par celle du demi-volume.

5°) Multiplier ce résultat par la valeur de la demi- hauteur, vous obtenez l'emplacement en hauteur du plan de gravité.

Exemple chiffré :

- 17,3 ÷ 6 x (((20,5 + 4,82) x 3,16) + ((9,64 + 10,25) x 1,99))) = 344,82

- 344,82 ÷ 2 = 172,41

- 8,65 ÷ 6 x (((20,5 + 7,535) x 3,16) + ((15,07 + 10,25) x 2,575))) = 221,71

- 221,71 ÷ 172,41 = 1,28

- 8,65 x 1,28 = 11,07

Dans l'un ou l'autre cas la précision du résultat, de l'ordre de 1 ÷ 100, est largement suffisante pour la réalisation d'un modèle réduit.

III) VOLUME REEL (exemple en système métrique)

Il est aisé de calculer l'épaisseur moyenne du lest en divisant le volume global par la surface latérale :

344,82 cm3 ÷ 130,35 cm2 = 2,64 cm

En donnant du lest à l'épaisseur constante une épaisseur de 2,64 cm on obtient un volume égal à celui du lest à l'épaisseur variable.

Sachant que ces lests sont profilés et que la surface de leur coupe horizontale va représenter environ 67% du rectangle circonscrit à cette dernière, le volume réel sera :

344,82 x 0,67 = 231 cm3

Réalisé en plomb (densité 11,34), leur masse vaudra :

11,34 x 0,231 = 2,6 kg

Enfin, à supposer vouloir multiplier par 2 la masse du lest, il est possible de procéder ainsi :

- doubler la hauteur

- doubler la valeur des côtés haut et bas

- doubler l'épaisseur

- multiplier la valeur de la hauteur et des côtés haut et bas par la racine carrée de 2 = 1,4142.

- multiplier l'ensemble des valeurs, épaisseur comprise, par la racine cubique de 2 = 1,260.


 
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